Programmierung von CAx-Systemen

David Straub

Gliederung

1. Einführung
2. Topologie
3. Grundformen
4. Kurven
5. Freiformgeometrie
6. Profile
7. Codequalität
8. Datenaustausch
9. Robustheit
10. Simulation
11. Optimierung

Freiformgeometrie

• Von Kontrollpunkten zu Freiformkurven: Bézier → B-Spline → NURBS
• Stetigkeit: $C^0$, $G^1$, $G^2$ – und wo sie wirklich zählt
• Freiformflächen: was Loft & Co. eigentlich erzeugen

Durchgängiges Beispiel: das Kühlkanal-Profil – Einlass- und Auslass-Querschnitt als Spline

Rückblick: die analytische Familie ist zu klein

Letzte Woche: schon der Versatz einer Ellipse war keine Ellipse mehr (OFFSET).

Der Kühlkanal des Moduls braucht ein frei geformtes Profil – über Linie, Kreis und Ellipse hinaus:

• Bisher: Profile aus analytischen Kurven
• Heute: ein frei geformtes, glattes Profil

Frage: Wie beschreibt man eine beliebige glatte Kurve mathematisch?

Theorie A: Von Kontrollpunkten zu B-Splines

Warum Polynome – aber niedrigen Grades?

Eine Kurve ist $\mathbf{C}(u) = (x(u), y(u), z(u))$ – welche Funktion?

→ Alle Freiformkurven (Bézier, B-Spline, NURBS) sind stückweise Polynome niedrigen Grades.

Erster Ansatz: Potenzbasis

Koordinaten direkt als Polynom in $u$:

$$\mathbf{C}(u) = \mathbf{a}_0 + \mathbf{a}_1 u + \mathbf{a}_2 u^2 + \cdots + \mathbf{a}_n u^n$$

In der Praxis ungeeignet:

• Kein geometrischer Bezug: aus $\mathbf{a}_3$ liest man den Kurvenverlauf nicht ab
• Numerisch empfindlich bei hohem Grad
• Ändern = Gleichungssystem lösen, nicht per Hand

→ Gesucht: eine Basis, deren Parameter selbst Punkte im Raum sind.

Bézier: Kontrollpunkte statt Koeffizienten

Renault, 1962 (Karosseriedesign). Kurve direkt über $n+1$ Kontrollpunkte:

$$\mathbf{C}(u) = \sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(u)\, \mathbf{P}_i, \qquad B_{i,n}(u) = \binom{n}{i} u^i (1-u)^{n-i}, \quad u \in [0,1]$$

• $B_{i,n}$: Bernstein-Basis – nicht-negativ, $\sum_i B_{i,n} = 1$. Jeder Kurvenpunkt ist also ein gewichteter Mittelwert der Kontrollpunkte (Konvexkombination).
• Folge: Die Kurve liegt in der konvexen Hülle – dem kleinsten konvexen Polygon um alle Kontrollpunkte.
• Läuft durch $\mathbf{P}_0$ und $\mathbf{P}_n$; Tangente in $\mathbf{P}_0$: Richtung $\mathbf{P}_1 - \mathbf{P}_0$

Die Grenzen der einzelnen Bézier-Kurve

Eine einzelne Bézier-Kurve über alle Punkte hat zwei Schwächen:

• Grad = Punktzahl − 1: 20 Punkte → Grad 19 → numerisch instabil, wellig
• Globale Kontrolle: jeder Punkt beeinflusst die ganze Kurve – kein lokales Anpassen

Stückweise Bézier: Übergänge

Ausweg: die Kurve in Segmente teilen, jedes ein Bézier-Stück niedrigen Grades. Am Übergang trifft der letzte Kontrollpunkt $\mathbf{P}_3$ eines Segments auf den ersten $\mathbf{Q}_0$ des nächsten.

Wie glatt ist der Übergang?

• $C^0$: $\mathbf{Q}_0 = \mathbf{P}_3$ – kein Spalt
• $C^k$: zusätzlich stimmen die ersten $k$ Ableitungen nach $u$ überein
• $G^1$: nur die Richtung der Tangente stimmt, ihre Länge darf springen

$C$ steht für die Parametrisierung, $G$ für die Geometrie: $G^1$ fragt nur, ob die Kurve glatt aussieht.

Übergänge im Editor ausprobieren

Piecewise Bézier Editor – stellen Sie kubisch ein, dann nacheinander $C^0$, $G^1$, $C^1$, $C^2$. Ziehen Sie jeweils einen Griff direkt neben einem Übergang.

Wie viele der vier Kontrollpunkte eines Segments können Sie bei $C^2$ noch frei setzen?

Der B-Spline: überlappende Fenster

Der B-Spline nimmt diese Buchhaltung ab: benachbarte Spannen teilen sich alle Kontrollpunkte bis auf einen.

• Eine Bézier-Kurve: eine Spanne, jeder Punkt wirkt überall
• Stückweise Bézier: eigene Punkte je Spanne, jeder Übergang von Hand
• B-Spline: überlappende Spannen → Stetigkeit entsteht von selbst

→ Automatische Stetigkeit und lokale Kontrolle, ohne Übergangsgleichungen.

Die B-Spline-Formel

$$\mathbf{C}(u) = \sum_{i=0}^{n} \mathbf{P}_i\, N_{i,p}(u)$$

• $\mathbf{P}_i$ – die $n+1$ Kontrollpunkte (die Griffe)
• $N_{i,p}(u)$ – Basisfunktionen vom Grad $p$ (kubisch: $p = 3$): das Gewicht, mit dem $\mathbf{P}_i$ beim Parameter $u$ zieht
• jede $N_{i,p}$ ist nur über ein Fenster ungleich null → lokale Kontrolle (rechts: Bézier global, B-Spline lokal)
• $\sum_i N_{i,p}(u) = 1$ → Konvexkombination wie bei Bézier

Der Knotenvektor

Was die $N_{i,p}$ überhaupt festlegt, ist der Knotenvektor:

$$U = (u_0 \le u_1 \le \dots \le u_m)$$

• eine nicht-fallende Folge von Parameterwerten, den Knoten
• die Knoten teilen die Parameterachse in Spannen und legen fest, wo jede $N_{i,p}$ ihr Fenster hat
• bei lauter verschiedenen Knoten ist eine Kurve vom Grad $p$ überall $C^{p-1}$ – kubisch also $C^2$, der CAD-Standard
• ein Knotenwert darf mehrfach vorkommen; wie oft, heißt seine Multiplizität

Knoten im Editor ausprobieren

B-Spline-Editor – kubisch, unten die Basisfunktionen $N_{i,3}$ und die Knoten-Ticks

1. Ziehen Sie einen Kontrollpunkt. Welcher Teil der Kurve bewegt sich? Vergleichen Sie mit den Basisfunktionen.
2. Sagen Sie zuerst voraus: Was passiert an einer Stelle, an der zwei Knoten zusammenfallen? Und bei drei?
3. Probieren Sie es aus: Schieben Sie Knoten-Ticks aufeinander.

Interpolation: Kurve durch gegebene Punkte

Kontrollpunkte sind Hebel – die Kurve läuft an ihnen vorbei. Oft liegen die Punkte aber fest: gemessen, aus einer Tabelle, aus einer Formel. Dann soll die Kurve genau hindurch.

Das ist Interpolation: Zu den Datenpunkten $\mathbf{Q}_i$ löst der Kern die passenden Kontrollpunkte $\mathbf{P}_i$ – ein lineares Gleichungssystem.

Rechts: die Kurve trifft jeden Datenpunkt (rot), die dafür berechneten Kontrollpunkte (blau) liegen woanders.

Praktikum A: Kühlkanal-Querschnitt als Spline

Aufgabe 1: Spline durch Punkte

Legen Sie eine Kurve durch fünf frei gewählte Punkte – einmal als Spline, einmal als Polyline.

1. Aus wie vielen Kanten bestehen beide, und welchen geomType haben die Kanten?
2. Sagen Sie zuerst voraus: Sie verschieben einen mittleren Punkt um 5 mm. Ändert sich der Spline nur in der Nähe dieses Punktes oder überall? Prüfen Sie es.
3. Passt das Ergebnis zur lokalen Kontrolle aus der Theorie?

Hinweise: cf.spline, cf.polyline, .Edges(), e.geomType(); beide Splines im Viewer übereinander zeigen

Aufgabe 2: Der Einlass-Querschnitt

Der Kühlkanal verjüngt sich vom Einlass zum Auslass (rechts; den Körper baut Einheit 6).

Bauen Sie den Einlass-Querschnitt als geschlossene, glatte Kurve aus etwa acht Punkten (Breite ≈ 50 mm, Höhe ≈ 14 mm) und daraus eine Fläche.

1. Prüfen Sie IsClosed() und den Flächeninhalt – plausibel ist ein Wert nahe $\frac{\pi}{4} \cdot 50 \cdot 14 \approx 550$ mm².
2. Vergleichen Sie mit periodic=False und dupliziertem Endpunkt: Wo entsteht der Knick?

Hinweise: cf.spline(*pts, periodic=True) – den Startpunkt am Ende nicht wiederholen; cf.face, .IsClosed(), .Area()

Theorie B: NURBS, Stetigkeit, Flächen

Ein exakter Kreis als B-Spline?

Ein B-Spline ist in jeder Spanne ein Polynom in $u$.

Kann ein B-Spline einen exakten Kreis darstellen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Tipp: Was müsste für $x(u)^2 + y(u)^2$ gelten?

NURBS: Kurven mit Gewichten

Jeder Kontrollpunkt bekommt ein Gewicht $h_i > 0$. Die Kurve wird ein Bruch zweier Polynome – eine rationale Kurve:

$$\mathbf{C}(u) = \frac{\sum_i h_i\, \mathbf{P}_i\, N_{i,p}(u)}{\sum_i h_i\, N_{i,p}(u)}$$

NURBS = Non-Uniform Rational B-Spline.

Viertelkreis exakt: 3 Punkte, Gewichte $1, \tfrac{\sqrt2}{2}, 1$. Rechts: gleiche Punkte – mit gleichen Gewichten wölbt sich die Kurve, mit dem kleineren Gewicht in der Mitte trifft sie den Bogen exakt.

NURBS ist die universelle Darstellung

Linie ⊂ Bézier ⊂ B-Spline ⊂ NURBS

Jede analytische Kurve ist ein NURBS-Spezialfall → einheitlicher Standard (CATIA, SolidWorks, NX, OCCT).

Beim STEP-Import erscheinen Freiformkurven als BSPLINE, teils sogar ursprüngliche Kreise – je nach exportierendem System.

Stetigkeit: $C^0$, $G^1$, $G^2$

Aus Theorie A: $C$ fragt nach den Ableitungen nach $u$, $G$ nur nach der Geometrie. Beim Aneinanderstoßen von Kurven und Flächen zählen im CAD vor allem:

Rechts der Krümmungskamm: Striche senkrecht zur Kurve, ihre Länge ist proportional zur Krümmung.

Wo Stetigkeit wirklich zählt

$G^2$ ist nicht überall nötig. Hier schon:

Faustregel: $C^0$ für boolesche Kanten, $G^2$ für Karosserie und Strömung.

Von Kurven zu Flächen

Eine Fläche hat zwei Parameter:

$$\mathbf{S}(u, v) = \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}$$

Alles von den Kurven gilt eine Dimension höher weiter. Die analytische Familie (Ebene, Zylinder, Kegel, Kugel, Torus) reicht für Standardkörper – der Rest wird BSPLINE.

Hält man $u$ oder $v$ fest, entsteht eine Kurve auf der Fläche (rechts). Die Normale ist $\mathbf{S}_u \times \mathbf{S}_v$ (normiert) – genau das, was normalAt() berechnet.

Was Loft erzeugt: ruled vs. glatt

Das Eingangsprofil bestimmt die Ausgabefläche. Loft hat zusätzlich eine Stetigkeits-Entscheidung:

from cadquery import func as cf

secs = [cf.wire(cf.circle(10)),
        cf.wire(cf.circle(16)).moved(z=25),
        cf.wire(cf.circle(10)).moved(z=50)]

cf.loft(secs, ruled=True)    # ['CONE', 'CONE'] – Knick in der Mitte
cf.loft(secs, ruled=False)   # ['BSPLINE'] – eine glatte Fläche

ruled=True: gerade Verbindung, $C^0$ (Bézier-Analogon). Default glatt: eine B-Spline-Fläche über alle Schnitte.

fillet ist ein Flächenerzeuger

box = cf.box(50, 30, 20)
box_f = cf.fillet(box, box.edges(), 3.0)
print(sorted(set(f.geomType() for f in box_f.Faces())))
# ['CYLINDER', 'PLANE', 'SPHERE']

• Zylinderfläche entlang jeder gerundeten Kante
• Kugelfläche in jeder Ecke

Das ist dieselbe Verrundung wie seit Einheit 1 – jetzt sehen Sie, welche Flächen sie erzeugt.

Welche Stetigkeit hat die Verrundung?

An box_f stößt eine ebene Seitenfläche an die Zylinderfläche der Verrundung ($r = 3$ mm).

Welche Stetigkeit hat dieser Übergang?

A) $C^0$    B) $G^1$    C) $G^2$

Stetigkeit sehen: Zebra-Streifen

Der Reiter Zebra im Viewer spiegelt parallele Lichtstreifen auf der Oberfläche – wie die Leuchtröhren im Karosseriebau. An jedem Übergang zeigt der Streifenverlauf die Stetigkeit:

Prüfen Sie Ihre Antwort: Zeigen Sie box_f, cf.loft(secs, ruled=True) und cf.loft(secs) im Viewer und öffnen Sie den Reiter Zebra. Welche Stetigkeit hat jeder Übergang?

Praktikum B: Auslass-Querschnitt und Kurveneigenschaften

Aufgabe 3: Der Auslass-Querschnitt

Der Kanal verjüngt sich zum Auslass (gleichmäßige Flussverteilung). Bauen Sie den Auslass als zweiten Querschnitt:

• gleiche Form wie Ihr Einlass, aber nur ≈ 36 × 10 mm
• 40 mm über dem Einlass (.moved(z=40)) – so verbindet Einheit 6 beide per Loft

Prüfen: Fläche nahe $\frac{\pi}{4} \cdot 36 \cdot 10 \approx 280$ mm²; BoundingBox().zmin ≈ 40

Aufgabe 4: Kurveneigenschaften auslesen

1. geomType() Ihrer Splines – und eines Kreises (cf.circle). Was fällt auf?
2. Tasten Sie curvatureAt(t) an 100 Stellen entlang Ihres Einlass-Profils ab. Wo ist die Krümmung am größten, und wie groß ist dort der Krümmungsradius?
3. Für die Strömung soll der Kanal nirgends enger als R = 3 mm gekrümmt sein. Erfüllt Ihr Profil das?

Hinweise: for i in range(100): mit t = i / 100, max(...), .positionAt(t)

Aufgabe 5 (Zusatz): Profil glätten

Verschieben Sie Punkte Ihres Einlass-Profils, bis der kleinste Krümmungsradius mindestens 3 mm beträgt – bei unveränderter Breite und Höhe.

1. Welche Punkte bewirken am meisten?
2. Wie ändert sich dabei der Flächeninhalt?

Abschluss

Leseauftrag & Ausblick

• Leseauftrag: Buch Kapitel 6 ab „Building Curves from Control Points“
• Wer mehr will: einen Loft der beiden Profile schon vorab probieren (cf.loft) – und ruled=True vs. False vergleichen
• Nächste Woche: Profile – Sweep und Loft: die beiden Querschnitte werden zum verjüngten Kühlkanal (Loft), der Kanal läuft als Sweep durch die Platte
• Bis dahin: w05/ (beide Profile) committet und gepusht